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AcWing905.区间选点

来源:博客园

题目详情

知识点

区间贪心为什么叫贪心呢?

——短视,每次只是在看眼前的东西,在眼前的决策中选一个最优解。而贪心就是根据这种策略能够走到全局最优解的方法【如果用函数图像来表示就是一个单峰的图】


(资料图片)

贪心的普遍方案

一般来说贪心问题没有思路的时候我们可以先随便试一下,再去举一些例子看自己的方法有什么缺漏,如果没什么问题的话就去证明一下这个方法的有效性

思路

自己的思路:(错误的仅供参考)

对于这种题不知道为什么总是下意识想按照左端点排序,然后再一个个判定,但是这样会忽略一种情况

对于上图这种情况,我会默认放在较大区间的右端点处,但是这种情况对于区间[-8,4]里面是没有点的!

n = int(input())arr = []for i in range(n):    l,r = map(int,input().split())    arr.append([l,r])arr.sort(key=lambda x:x[0])res = 1l = arr[0][1]print(l)for i in range(1,n):    if arr[i][0] > l:        res += 1    l = max(l,arr[i][1])print(res)

正确的思路

区间贪心问题的分析:无外乎就是排序(按左端点or右端点or双关键字)

先试想一个方法:

  • 将每个区间按右端点从小到大排序
  • 从前往后依次枚举每个区间
    • 如果当前区间中已经包含点,则直接pass
    • 否则,选择当前区间的右端点

好的,我们现在找到了一个算法,现在我们得证明该算法的有效性

我们可以利用数学中的证明方法:要证明A=B

就要证明①A≥B;②A≤B。我们遵循这个思路进行证明

用ans表示最终答案,用cnt表示通过该算法求出的答案

首先每个区间一定都包含一个点,因此当前选点方案肯定是一组合法方案

本题的最优解指的是:所有合法方案中的最小值,所以有①ans≤cnt

对于算法第二步的第二种情况,对所有没被pass的情况

第一个区间肯定被选了,那下一个被选的点肯定是与当前这个区间没有任何交点的区间,如下图所示然后我们依次找到了cnt个点,对应cnt个区间,是从左到右互不相交的区间

所以如果要覆盖这些区间,那至少要用cnt个点,而题目要求我们所选的点要覆盖所有区间(一定包括这些互不相交的区间)

所以可选方案一定要包括这些点②ans≥cnt

因此,ans=cnt,方法可行

代码

n = int(input())arr = []for i in range(n):    l,r = map(int,input().split())    arr.append([l,r])arr.sort(key=lambda x:x[1])res = 1r = arr[0][1]for i in range(1,n):    if arr[i][0] > r:        res += 1  # 放一个点        r = arr[i][1] # 放在右端点print(res)

自己思路的优化

以上是比较好理解的思路,但其实用左端点排序(就是我自己的思路的方法)也可以,但是在更新的过程中要取最小值。因为左端点排序的话,一个大区间会存在多个小区间;那么要想点数尽可能少,那么就选择小区间的右端点作为覆盖点,小区间可以覆盖大区间,但是不能覆盖大区间内另一个没有重复区域的小区间,所以要维护最右端点值

n = int(input())arr = []for i in range(n):    l,r = map(int,input().split())    arr.append([l,r])arr.sort(key=lambda x:x[0])res = 1r = arr[0][1]for i in range(1,n):    if arr[i][0] > r:        res += 1        r = arr[i][1]    else:        r = min(r,arr[i][1])print(res)

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