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全球观焦点：算法模板总结 1

来源：博客园


【资料图】

算法模板总结

1. 基础算法

1.1 快速排序

void quick_sort(int q[], int l, int r){    if (l >= r) return;    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];    while (i < j)    {        do i ++ ; while (q[i] < x);        do j -- ; while (q[j] > x);        if (i < j) swap(q[i], q[j]);    }    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);}

1.2 归并排序

void merge_sort(int q[], int l, int r){    if (l >= r) return;    int mid = l + r >> 1;    merge_sort(q, l, mid);    merge_sort(q, mid + 1, r);    int k = 0, i = l, j = mid + 1;    while (i <= mid && j <= r)        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];}

1.3 整数二分

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：int bsearch_1(int l, int r){    while (l < r)    {        int mid = l + r >> 1;        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质        else l = mid + 1;    }    return l;}// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：int bsearch_2(int l, int r){    while (l < r)    {        int mid = l + r + 1 >> 1;        if (check(mid)) l = mid;        else r = mid - 1;    }    return l;}

1.4 浮点数二分

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质double bsearch_3(double l, double r){    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求    while (r - l > eps)    {        double mid = (l + r) / 2;        if (check(mid)) r = mid;        else l = mid;    }    return l;}

1.5 高精度加法

// C = A + B, A >= 0, B >= 0vector add(vector &A, vector &B){    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);    vector C;    int t = 0;    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )    {        t += A[i];        if (i < B.size()) t += B[i];        C.push_back(t % 10);        t /= 10;    }    if (t) C.push_back(t);    return C;}

1.6 高精度减法

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0vector sub(vector &A, vector &B){    vector C;    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )    {        t = A[i] - t;        if (i < B.size()) t -= B[i];        C.push_back((t + 10) % 10);        if (t < 0) t = 1;        else t = 0;    }    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();    return C;}

1.7 高精度乘低精度

// C = A * b, A >= 0, b >= 0vector mul(vector &A, int b){    vector C;    int t = 0;    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )    {        if (i < A.size()) t += A[i] * b;        C.push_back(t % 10);        t /= 10;    }    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();    return C;}

1.8 高精度除以低精度

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0vector div(vector &A, int b, int &r){    vector C;    r = 0;    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )    {        r = r * 10 + A[i];        C.push_back(r / b);        r %= b;    }    reverse(C.begin(), C.end());    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();    return C;}

1.9 一维前缀和

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

1.10 二维前缀和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

1.11 一维差分

// 给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c    // 生成一维差分矩阵，要注意下标从0开始还是从1开始void insert(int l, int r, int c){    b[l] += c;    b[r + 1] -= c;}for (int i = 1; i <= n; i ++ ){    insert(i, i, a[i]);}

1.12 二维差分

// 给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：// S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c    // 生成二维差分矩阵，要注意下标从0开始还是从1开始void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){    b[x1][y1] += c;    b[x2 + 1][y1] -= c;    b[x1][y2 + 1] -= c;    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;}for (int i = 1; i <= n; i ++ )        for (int j = 1; j <= m; j ++ )            insert(i, j, i, j, a[i][j]);

注：差分和前缀和互逆

1.13 位运算

求n的第k位数字: n >> k & 1返回n的最后一位1和之后的0组成的数字：lowbit(n) = n & -n;lowbit(101) = 1;lowbit(1100) = 4;

1.14 双指针算法

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ ){    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;    // 具体问题的逻辑}常见问题分类：    (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间    (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

1.15 离散化

vector alls; // 存储所有待离散化的值sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素// 二分求出x对应的离散化的值int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置{    int l = 0, r = alls.size() - 1;    while (l < r)    {        int mid = l + r >> 1;        if (alls[mid] >= x) r = mid;        else l = mid + 1;    }    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n}

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