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对极几何的理解和原理推导

2023-03-14 18:03:50 来源：博客园

特征点法前端

$\quad$前端又称为视觉里程计 (VO)，它根据相邻图像间的信息来估计出相机的运动。估计值既可作为结果输出，也可以作为初始值提供给后端来进行优化。VO的实现，按照是否提取图像特征，分为特征点法前端和直接法前端。

1.0 特征点与特征点匹配

$\quad$如前所述，VO的主要问题是根据图像信息来估计相机的运动。一般来说，我们首先从图像中选取出比较有代表性的点，然后根据这些点来估计相机的位姿（和点的定位）。在SLAM 中，这些点也称为路标。

(资料图片)

1.1 特征点

$\quad$影像在计算机中是以数值矩阵的方式来进行存储的。因此，单个像素也是一种特征。但我们希望所提取的特征能够在相机运动后保持稳定，即有一定程度的不变性。而单个像素往往收到光照、视角、形变等等因素的影响而变得不稳定。因此，在计算机视觉中，常常通过人工设计的特征提取器来获取具有鲁棒性的图像特征。

$\quad$常见的图像特征就是角点。角点有易辨认，易提取的特点。但它也存在一些问题。比如距离的影响：从远处看是角点的地方，相机移近之后却不是了。还有旋转的影响：相机旋转后，不同影像上的同一角点可能就具有不同的外观。

$\quad$为此，研究者们设计了许多能够提取具有足够鲁棒性特征提取算法，如 SIFT, SURE, ORB等等。这些人工设计的特征点一般都具备如下性质：

可重复性：相同的特征点可以在不同的影像上找到；
可区别性：不同的特征点具有不同的表达；
高效率：同一图像中，特征点的数量远小于像素的数量；
本地性：提取的特征点仅仅和一小片图像区域相关。

$\quad$一个特征点由关键点(key-point) 和描述子(descriptor) 两部分组成。关键点指的是该特征点在图像上的位置信息，有些还具有方向、大小等其他信息。描述子通常是一个向量，它按照某种人为设计的方式，描述了特征点周围像素点信息。描述子一个重要设计原则就是外观相似的特征具有相似的描述子。

$\quad$由于SLAM是一种实时应用，因此除了鲁棒性之外，算法的实时性也应该被考虑。实际上，特征点提取和匹配占据了SLAM 主要的时间消耗。因此选用合适的特征提取算法至关重要。如 SIFT 算子虽好，但计算量太大，时间消耗过多。虽然大部分的特征提取都具有良好的并行性，可以使用 GPU来加速运算，但由此带来的成本提升也要纳入考量。而ORB算子是质量和效率之间比较好的折中方案，常被用在目前的视觉 SLAM 方案中。

1.2 ORB

$\quad$网上关于 ORB算子的资料很多，相关论文也可以直接获取。这里仅仅进行一个简要的叙述。

$\quad$ORB特征一样由关键点和描述子两部分组成。它的关键点为 Oriented FAST，是 FAST 算子的一种改进；描述子则是BRIEF。

$\quad$FAST 算子很高效，但不具备尺度和旋转不变性。通过构建影像金字塔，在不同尺度的影像上提取特征来增加尺度不变性。然后引入像素重心来确定特征点的方向，引入旋转不变性。中间还可以使用Harris 角点滤波来提取出N 个最有可能的角点。

传统的BRIEF 描述子一样不具备旋转不变性，同样通过像素重心所确定的特征点方向来作为描述子点方向，得到steer BRIEF。最后，为了得到更好的两两比较模式，利用一个角点数据集和贪心算法得到一个具有高方差、低相关的模式，用以构建合适的描述子，称为 rBRIEF。

原论文ORB 在此。

1.3 特征匹配

$\quad$完成特征提取后，就可以进行特征匹配了。特征匹配解决了SLAM 中的数据关联问题，即确定了当前看到的路标和之前看到的路标之间的对应关系。

$\quad$最简单的特征匹配方法就是暴力匹配(brute-force matching)：计算待匹配特征点与其他特征点之间的距离，然后按距离排序，选取距离最近的特征点作为匹配点。在这里，描述子间的距离表示了两个特征点之间的相似程度，有欧式距离，汉明距离等等。对于特征点数量巨大的情况，快速近似最邻近(FLANN) 算法会更为高效。

$\quad$接下来，我们希望根据匹配的特征点对来估计相机的运动。根据相机原理或所有的数据等不同，有三种情况：

当使用单目相机时，我们只知道二维的像素坐标，因此问题是根据两组匹配的 $2D$ 点来估计相机运动。该问题用对极几何来解决。
当相机为双目或为RGB-D 相机时，由于我们可以获得深度信息，问题就是估计两组 $3D$ 点间的运动。该问题用$ ICP $ 来解决。
如果有 $3D$ 点云及其对应像素点的 $2D$ 坐标，也能顾及相机运动。该问题通过 $PnP $求解。

2.0 对极几何

2.1 对极约束

$\quad$上图展示了一对匹配好的特征点。我们希望求取这两帧之间的运动。设两个相机关心分别为 $O_1$ 和 $O_2$，第一帧到第二帧到运动为 $R，t$。点 $p_1 (x_1) $ 和点 $p_2 (x_2) $ 是同一个空间点在两个成像平面上的投影。连线 $O_1 \ p_1$ 和 $O_2 \ p_2$ 在三维空间中相交于点 $P$。这时，$O_1, O_2$ 和 $P$ 三点确定一个平面，称为极平面(epipolar plane)。$O_1, O_2$ 连线与像平面 $I_1, I_2 $ 的交点分别为 $e_1, e_2$。点 $e_1, e_2$ 称为极点(epipoles)，是相机光心在另一幅影像上的投影。注意到这里 $e_1, e_2$ 都位于像平面内。有时候它们有可能会落在成像平面之外。$O_1, O_2$ 称为基线(baseline)。而极平面与两个像平面之间的交线 $l_1, l_2$ 为极线(epipolar line)，它们分别是射线 $O_2 \ p_2$ 和 $O_1 \ p_1$ 在对方影像上的投影。

$\quad$从几何上来看，射线 $O_1 \ p_1$ 是像素点 $p_1$ 所对应的物方点可能出现的位置：该射线上的所有点都有可能投影到点 $p_1$ 上。射线 $O_2 \ p_2$ 是像素点 $p_2$ 所对应的物方点可能出现的位置。如果匹配正确的话，像素点 $p_1, p_2$ 对应于同一个物方点。这两条射线的交点就是就是点 $P$ 的空间位置。如果没有特征匹配，我们就必须在极线 $l_2$ 上搜索 $p_1$ 的匹配点。

现在我们从代数的角度上看，在第一帧的相机坐标系下，点 $P$ 的空间位置为：

\[\mathbf{P}=[X, Y, Z]^T\]

根据针孔相机模型，不考虑畸变，两个像素点 $p_1$, $p_2$ 点像素（$u,v$）坐标分别为：

\[s_1\mathbf{p}_1=\mathbf{K}\mathbf{P},\ s_2\mathbf{p}_2=\mathbf{K}(\mathbf{R}\mathbf{P}+\mathbf{t})\]

$s_1p_1$和 $p_1$成投影关系，他们在齐次坐标系下是相等的，我们称这种关系为尺度意义下相等，记作：

\[sp\simeq p\]

在使用齐次坐标的时候，一个向量将等于它自身乘以一个非零的常数，这通常用于表达一个投影关系，$s_1p_1=p_1$，这里可以参考一下14讲中P100页关于归一化平面和归一化坐标的定义：
归一化坐标可以看作相机前方 $z=1$ 处的青面上的一个点，这个 $z=1$ 的平面上的点也叫做归一化平面。归一化坐标再左乘内参即可得到像素坐标，所以我们可以将像素坐标 $(u,v)$ 看作是归一化平面上的点进行量化测量的结果\[\mathbf{RP_w +t}=\underbrace{[X,Y,Z]^T }_{相机坐标系} \rightarrow \underbrace{[\frac{X}{Z},\frac Y Z ,1]}_{归一化坐标系}\]我们再来看一下针孔相机的投影模型:\[\begin{pmatrix} u\\ v\\1\end{pmatrix} = \frac{1}{Z} \begin{pmatrix} f_x& 0 &c_x \\ f_y& 0 &c_y \\ 0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\Y \\Z\end{pmatrix} \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{1}{Z}KP \]针孔相机的成像模型中本身对于$Z$就是未知的无约束的。

那么上述的两个投影关系可以写成:

\[p_1 \simeq KP,p_2\simeq K(RP+t)\]

这里，$K$ 为相机内参矩阵。如果使用齐次坐标，则前面的系数 $s_1, s_2 $可以省略。设：

\[\mathbf{x}_1=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{p}_1,\ \mathbf{x}_2=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{p}_2\]

这里，$x_1$ 和 $x_2$ 分别为两个像素点在各自相机坐标系下的归一化平面坐标。将之代入上式（将 $p_1,p_2$ 分别带入上面的式子）可得：

\[\mathbf{x}_2 = \mathbf{R}\mathbf{x}_1+\mathbf{t}\]

这里本身笔者并不理解如何去除尺度因子之后仍然成立，于是接着带上尺度因子推倒了一遍，发现结果是一样的，也就是说尺度无法影响对极约束，当然求解出来的结果中的$t$ 当然不是真实的尺度了，这里放出推倒过程：

将上式两边同时左乘$\mathbf{t}^{\wedge}$，这相当于两侧同时和 $t $ 做外积：

\[\mathbf{t}^{\wedge}\mathbf{x}_2=\mathbf{t}^{\wedge}\mathbf{R}\mathbf{x}_1\]

再将两侧同时左乘$\mathbf{x}^T_2$：

\[\mathbf{x}^T_2\mathbf{t}^{\wedge}\mathbf{x}_2=\mathbf{x}^T_2\mathbf{t}^{\wedge}\mathbf{R}\mathbf{x}_1\]

注意到$\mathbf{t}^{\wedge}\mathbf{x}_2$ 是一个垂直于二者的向量，因此它和$\mathbf{x}_2$ 的内积为0。由此可得：

\[\mathbf{x}^T_2\mathbf{t}^{\wedge}\mathbf{R}\mathbf{x}_1=0\]

如果我们代入 $p_1, p_2 $ 则可得：

\[\mathbf{p}^T_2\mathbf{K}^{-T}\mathbf{t}^{\wedge}\mathbf{R}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{p}_1=0\]

这两个式子称为对极约束。它的几何意义为 $O_1, O_2 $和 $\mathbf{P}$ 三点共面。这两个式子的中间部分分别称为本质矩阵(essential matrix) $\mathbf{E}$ 和基础矩阵(fundamental matrix) $\mathbf{F}$。

\[\mathbf{E} = \mathbf{t}^{\wedge}\mathbf{R} \\ \mathbf{F} =\mathbf{K}^{-T}\mathbf{t}^{\wedge}\mathbf{R}\mathbf{K}^{-1} \\\mathbf{x}_2^T\mathbf{E}\mathbf{x}_1=\mathbf{p}_2^T\mathbf{F}\mathbf{p}_1=0\]

$\quad$对极约束给出了两个匹配点的空间位置关系。$\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{F}$ 之间只差了相机内参。在 SLAM中，相机内参一般都是已知的（也可以通过相机标定获得），所以实践中常常使用形式更简单的 $\mathbf{E}$。注意到 $\mathbf{E}$ 完全由旋转矩阵 $\mathbf{R}$ 和平移向量 $\mathbf{t}$ 组成，由此我们也希望能够通过 $E$ 来求得 $\mathbf{R}$, $\mathbf{t}$。因此，相机位姿的估计就可以描述为：

通过匹配点求出 $\mathbf{E}$；
根据E 求取 $\mathbf{R}$, $\mathbf{t}$。

实际情况自然会比这个复杂。下面我们就来了解下这个求解过程。

2.2 本质矩阵

关于本大节（对极几何）的更详细的讲解和推导推荐看书 An Invitation to 3-D vision 的第五章。这章也正好是sample chapters 之一，可以免费阅读。地址在此Reconstruction from Two Calibrated Views .

本质矩阵 $\mathbf{E} = \mathbf{t}^{\wedge} \mathbf{R}$ 是一个$3 * 3$ 大小的矩阵，共 $9$ 个未知数。它包含了一个相对位置信息 $t$ 和一个旋转矩阵 $R$。所有本质矩阵也构成一个集合，具有以下的性质：

本质矩阵是由对极约束定义的。由上可知对极约束是一个等式为零的约束，所以对 $E$ 乘以任意非零常数后，对极约束仍然满足。说明 $E$ 在不同尺度下是等价的。
根据$\mathbf{E} = \mathbf{t}^{\wedge} \mathbf{R}$，本质矩阵 $E$ 的奇异值必定是$[\sigma,\sigma,0]^T$ 的形式。这称为本质矩阵的内在性质。想要详细的证明还请看上面的章样。
平易和旋转各自有 $3 $个自由度，所以$\mathbf{t}^{\wedge} \mathbf{R}$ 一共只有 $6$ 个自由度。考虑到尺度等价性，本质矩阵 $E$ 实际上只有$5$个自由度。

$\quad$既然 $E$ 只有 $5$ 个自由度，说明我们可以只用 $5$ 对点来对其进行求解。但 $E$ 的内在性质是非线性的，只用 $5$ 对点求解会更麻烦些。考虑 $E$ 的尺度等价性，可以使用 $8$ 对点来求解 $E$。这就是八点法。

$\quad$考虑一对匹配点，它们的归一化坐标为$\mathbf{x}_1 = [u_1, v_1,1]^T$ 和$\mathbf{x}_2 = [u_2, v_2,1]^T$。根据对极约束则有：

\[\begin{pmatrix}u_1, v_1, 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e_1 & e_2 & e_3 \\e_4 & e_5 & e_6 \\e_7 & e_8 & e_9 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_2 \\ v_2 \\ 1\end{pmatrix} = 0\]

把矩阵 $E$ 展开，写成向量的形式 (stacked version)：

\[\mathbf{e} =[ e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7, e_8, e_9]^T\]

对极约束就可以写成与 $e$ 有关的线形形式：

\[[u_1u_2, u_1 v_2, u_1, v_1 u_2, v_1 v_2, v_1, u_2, v_2, 1] \mathbf{e} = 0\]

$8$个特征点对就构成了一个线性方程组。设系数矩阵为 $A$，它是一个 $8 * 9$ 大小的矩阵，$e$ 位于该矩阵的零空间 (Null Space) 中。如果矩阵 $A$ 满足秩为 $8$（满秩）的条件（$8$ 个点不共面），那么其零空间维度为 $1$，即 $e$ 构成一条线，这与 $e$ 的尺度等价性是一致的。

求解出 $E$ 后，问题就变成了如何从 $E$ 中恢复出相机的运动 $R，t$。该过程可以由奇异值分解 (SVD) 得到。且对于任意一个本质矩阵 $E$，有两组相对运动 $(R, t)$ 与之对应。同样地，详细证明请看上面的书籍章样。假设 $E$ 的SVD分解为：

\[\mathbf{E} = \mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T\]

其中，$U, V $ 是正交阵，$\mathbf{\Sigma}$ 是奇异值矩阵。与 $E$ 对应的两组 $(R, t)$ 分别为：

\[\begin{align}\mathbf{t}_1^{\wedge} = \mathbf{U} \mathbf{R}_z(\frac{\pi}{2}) \mathbf{\Sigma} \mathbf{U}^T, & \ \mathbf{R}_1 = \mathbf{U} \mathbf{R}^T_z(\frac{\pi}{2}) \mathbf{V}^T \\\mathbf{t}_2^{\wedge} = \mathbf{U} \mathbf{R}_z(-\frac{\pi}{2}) \mathbf{\Sigma} \mathbf{U}^T, & \ \mathbf{R}_2 = \mathbf{U} \mathbf{R}^T_z(-\frac{\pi}{2}) \mathbf{V}^T \\\end{align}\]

其中，$\mathbf{R}_z(\frac{\pi}{2})$ 表示沿 $z$ 轴旋转 $90$ 度的旋转矩阵。对比上面两个式子可以发现，这两组解其实是以参考帧为中心，绕 $z$ 轴呈 $180$ 度旋转对称的两组解，如下图所示（来自上面推荐的书籍）：

$\quad$同时，由于 $E$ 可以取任意符号，即 $-E$ 和 $E$ 是等价的，所以对任意一个 $t$ 取负号又取得一个符合条件的解，所以一共有四组符合条件的解。

$\quad$我们可以将任意一对特征点代入所取得的$4$组解中，检测该点在两个相机下的深度值。显然物方特征点应该位于两个相机的前方，取两个深度值都为正的解即是正确的解。

$\quad$最后，使用带有噪声的数据利用线形方程组求解得到的E 可能并不是一个”正确“的解，即奇异值矩阵并不满足 $E$ 的内在性质 $\mathbf{\Sigma} = diag(\sigma, \sigma, 0)$ 而是$\mathbf{\Sigma} = diag(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$，为从大到小的排序。通常的做法是取$\mathbf{\Sigma} = diag(\frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2},\ \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2}, 0)$ 或者直接取 $(1, 1, 0)$。

2.3 单应矩阵

$\quad$前面我们提到，利用八点法来求解本质矩阵的一个前提是系数矩阵满秩，这也意味着八组特征点不能（近似）落在同一个平面上。但在一些情况中，如无人机俯拍影像，这个假设就不成立了。此时，可以利用单应矩阵 (Homography) $H$ 来求解相机运动。

$\quad$考虑图像 $I1$ 和 $I2$ 有匹配好的特征点对 $p_1$ 和 $p_2$，这些特征点所对应的物方点 $P$ 落在同一平面上。以第一张影像的相机坐标系为惯性系，该平面的法向量为$n$，到惯性系的原点的距离为 $d$，则该平面可以表示为：

\[\mathbf{n}^T \mathbf{P}=d\]

整理得：

\[\frac{\mathbf{n}^T \mathbf{P}}{d} = 1\]

影像 $I2$ 相对于影像 $I1$ 的运动为$ (R, t)$，则有：

\[\begin{align}\mathbf{P}_2 & = \mathbf{R} \mathbf{P}_1 + \mathbf{t} \\ & = \mathbf{R} \mathbf{P}_1 + \mathbf{t} \cdot \frac{\mathbf{n}^T \mathbf{P}_1}{d} \\ & = (\mathbf{R} + \frac{\mathbf{t} \mathbf{n}^T}{d}) \cdot \mathbf{P}_1\end{align}\]

$\quad$这样，我们就得到了描述两个相机坐标系下同一物方点的转换关系，把中间括号内的部分抽取出来就得到了单应矩阵 $H$。当然，也可以在括号两端各加上相机矩阵 $K$，得到$\mathbf{K} (\mathbf{R} + \frac{\mathbf{t} \mathbf{n}^T}{d}) \mathbf{K}^{-1}$，这是高博书中的表示方式，描述了两个图像坐标之间的转换关系。

$\quad$单应矩阵包含了相机运动信息 $(R, t)$ 和对应平面的参数$ (n, d)$，同样是一个$3 * 3$ 大小的矩阵，同样可以先通过匹配的特征点对计算 $H$ 然后将之分解得到平移和旋转。值得注意的是，若相机运动为纯旋转，情形仍和单应矩阵相同，因为此时$\mathbf{X}_2 = \mathbf{R} \mathbf{X}_1$ 或$\mathbf{x}_1 = \mathbf{K} \mathbf{R} \mathbf{K}^{-1} \mathbf{x}_2$。可见，旋转矩阵也是单应矩阵的一种。

由上可得：

\[\begin{pmatrix}u_2 \\ v_2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}h_1 & h_2 & h_3 \\h_4 & h_5 & h_6 \\h_7 & h_8 & h_9 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1 \\ v_1 \\ 1\end{pmatrix}\]

需要注意的是这里的等号是在一个非零因子下成立的（齐次坐标）。实际处理中常常乘以一个非零因子使得 $h_9 = 1$。然后去掉这个非零因子可得：

\[u_2 = \frac{h_1 u_1 + h_2 v_1 + h_3}{h_7 u_1 + h_8 v_1 + h_9} \\v_2 = \frac{h_4 u_1 + h_5 v_1 + h_6}{h_7 u_1 + h_8 v_1 + h_9}\]

整理得：

\[h_1 u_1 + h_2 v_1 + h_3 - h_7 u_1 u_2 - h_8 v_1 u_2 = u_2 \\h_4 u_1 + h_5 v_1 + h_6 - h_7 u_1 v_2 - h_8 v_1 v_2 = v_2\]

如此，一组匹配点可以构造出两个约束（三组约束中只有两组线性独立）。于是，自由度为 $8$ 的单应矩阵可以由4对特征点算出（不存在三点共线的情况）。这种将 $H$ 转化为向量形式来直接求解的方式称为直接线性变换 (Direct Linear Transform, DLT)。

和本质矩阵的分解类似，分解单应矩阵H 也会得到4组解（如下所示）。这里的推导比较复杂（我也没看得很明白），还请参看前面的书籍章样。利用物方点的深度值为正（位于相机前方）的特性，可以排除两组解，剩下的两组解则需通过其他先验信息进行验证。

3.0 补充

3.1 尺度不确定性

$\quad$前面提到，$E$ 具有尺度等价性，由它分解得到的 $(R, t)$ 也具有一个尺度等价性，但由于旋转矩阵 $R$ 自身带有约束（行列式为 $1$ 等），所以只有 $t$ 具有一个尺度。换言之，分解 $E$ 得到的其实是 $qt$, q 为一个分零因子。而在通过分解 $H$ 得到 $(R, t)$ 的时候，由于平面到坐标原点的距离未知，得到的 $t$ 同样具有一个尺度等价性。在这种情况下，通常是将 $t$ 进行归一化处理，即令其模长为 $1$.

$\quad$对 $t$ 长度的归一化直接导致了单目视觉的尺度不确定性。如果对轨迹和地图同时缩放任意倍数，我们得到的图像仍然是一样的。而对两张图像间的平移 $t$ 进行归一化相当于固定尺度。以 $t$ 的长度作为为单位长度，计算相机轨迹和特征点的三维位置。这被称为单目 slam 的初始化。初始化后，就可以利用 3D - 2D来计算相机运动了。进行初始化的两张图像必须有一定程度的平移，而后都将以此步的平移为单位。

3.2 纯旋转

$\quad$在只有纯旋转的情况下，我们可以通过 $H$ 来求取旋转。此时由于 $t = 0$，$E$ 也为 $0$。但此时我们无法利用三角测量来计算特征点的空间位置（不构成对极几何）。所以，单目初始化不能只有纯旋转，必须有一定程度的平移。

3.3 多余匹配

求解 $E$ 和 $H$ 都只需要用到少量的特征点对。而通过特征提取和匹配，往往能获得远超需要的特征点对。拥有这么多匹配点，在求解 $E$ 或 $H$ 的过程中当然可以构造一个最小二乘问题。但是，在可能存在误匹配的情况下，随机采样一致性(RANSAC) 更受青睐。

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