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全球最资讯丨概率论之重要的随机变量
离散分布
two-point 0-1 分布
抛一个硬币,硬币向上的概率是 p,若向上为1,向下为0,这个变量就是0-1分布。
k | 0 | 1 |
---|---|---|
\(P(X=k)\) | \(1-p\) | \(p\) |
Bernoulli 二项分布
现有一个硬币,抛 n 次,如果每次硬币向上的概率是 p,那么记 n 次实验里硬币向上发生的次数 X 为二项分布,又叫伯努利分布,写作\(X \sim B(n, p)\)。
\[P(X=k) = \C_n^k\ p^k(1-p)^{n-k}\]\[E(X) = np\]\[D(X) = np(1-p)\]Poisson 泊(bó)松分布
在二项分布里,记 \(\lambda = np\),那么
(资料图片仅供参考)
\[P(X=k) = \C_n^k\ p^k(1-p)^{n-k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}(\frac λn)^k(1-\frac λn)^{n-k}\]\[=((1-\frac 1n)...(1-\frac {k-1}n))(\frac {λ^k}{k!})(1-\frac λn)^{{\frac λn}(-λ)(1-\frac kn)}\]那么\(n\to \infty\)时,\(P(X=k) = e^{-λ}\frac {λ^k}{k!}\),这就是泊松分布,记作\(P(λ)\)。他是二项分布在 n 足够大时的近似。
\[E(X) = λ\]\[D(X) = λ\]比如说,一个商店开放一个小时,任何时候来人都是等可能的。如果已知每分钟出现一个人的概率是 p,没有人的概率就是 1-p,那么来的人数量这就是一个二项分布\(B(60, p)\)。
但是一分钟有可能出现多个人,为了更加精确分成30秒一算,30秒出现一个人的概率就是\(\frac p2\),来的人数量变成了\(B(120, \frac p2)\);分成1秒钟一算,那就是\(B(3600, \frac p{60})\),随着 n 走向无穷细分,np 却是个定值,他可以用来表示概率的大小,最终的分布是\(P(60p)\)。
Geometric 几何分布
现有一个硬币,如果每次硬币向上的概率是 p,那么一直抛硬币直到硬币向上。记第一次出现硬币向上时所抛硬币的次数为几何分布,写作\(X \sim G(p)\)。
\[P(X=k) = p(1-p)^{k-1}\]\[E(X) = \frac 1p\]\[D(X) = \frac {1-p}{p^2}\]Pascal 负二项分布
现有一个硬币,如果每次硬币向上的概率是 p,那么一直抛硬币直到硬币向上出现了 n 次。记此时所抛硬币的次数为负二项分布,写作\(X \sim NB(n, p)\)。显然几何分布就是 n = 1 的情况。
\[P(X=k) = \C_{n-1}^{k-1}\ p^n(1-p)^{k-n}\ \ (k\ge n)\]\[E(X) = \frac np\]\[D(X) = \frac {n(1-p)}{p^2}\]Hypergeometric 超几何分布
N 个产品中有 M 个不合格品,现在不放回抽取 n 个,那么次品的数量就是一个超几何分布,记作\(X \sim H(n, M, N)\)。
\[P(X=k) = \frac{\C_M^k\C_{N-M}^{n-k}}{\C_N^n}\ \ (\max(0,n-N+M)\le k\le \min(n,M)) \]\[E(X) = n\frac MN\]\[D(X) = n\frac MN(1-\frac MN)(\frac {N-n}{N-1})\]当 N 相比 n 非常大时,放回抽取和不放回抽取近似相等,此时可以近似为二项分布\(B(n, \frac MN)\)。
连续分布
Uniform 均匀分布
均匀分布在区间\([a,b]\)的分布就是均匀分布,写作\(X \sim U(a, b)\)。
\[f(x)=\frac 1{b-a}\ \ (a指数分布写作\(X \sim E(λ)\)。
\[f(x)=λe^{-λx}\ \ (x>0)\]\[E(X) = \frac 1λ\]\[D(X) = \frac 1{λ^2}\]指数分布和泊松分布有密切关系。对于一个随时可能来人的商店,一小时内的来客数量是泊松分布,而来客和上一个来客出现的时间间隔就是一个指数分布。假设现在来了一个人,下一个人在 t 分钟后出现,中间 t 分钟没有出现人,概率就是\(P(P(tp) = 0)=e^{-tp}\),由此可见,接下来一分钟出现人概率是\(e^{-p}\),两分钟才出现就是\(e^{-2p}\),这个数会迅速减小。
指数分布还有无记忆性:\(P(X>t+s|X>s)=P(X>t)\),如果过了一分钟下一个人没有出现,他再过一分钟出现的概率还是 \(e^{-p}\)。
指数分布也是几何分布的一种渐进。
Normal 正态分布
正态分布是“分布之王”,非常重要的分布,是我们构造“中间高两边低”这样的分布的基本模型。他最早来源于二项分布的一种渐进,正态分布记作\(N(μ, σ^2)\),两个参数直接代表期望和方差。
\[f(x)=\frac 1{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}\]\[φ(x)=\frac 1{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}\]\(φ(x)\)即标准正态分布\(N(0,1)\),他的积分(分布函数)记作大 phi(\(Φ(x)\))。由密度表达式所有正态分布都可以线性转化为标准正态分布,所以标准正态分布就显得尤为重要。
\[Y\sim N(μ, σ^2),\ X\sim N(0,1)\to Y=\frac {X-\mu}{\sigma}\]全球最资讯丨概率论之重要的随机变量
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