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世界观热点:剪绳子问题 之动态规划 及 大数越界情况下的求余问题
问题:剪绳子剑指 Offer 14- I. 剪绳子 - 力扣(LeetCode)
思路一:数学推导:分割大小为3时 ,是最优解,2 次之; /3 作为幂次, %3 作为分解到最后特化处理;
(相关资料图)
特殊化处理:当分解到剩1的时候,取出一个3和这个1,组成4,分解成2*2,此时值最大化;
当分解到剩2的时候,就×2;
当分解到剩0的时候,全部能幂次
时间复杂度 、 空间复杂度 都为 O(1);
class Solution {public: int cuttingRope(int n) { if(n == 2) return 1; if(n == 3) return 2; int i = n/3,j = n%3; if(j == 1) return pow(3,i-1)*4; if(j == 0) return pow(3,i); if(j == 2) return pow(3,i)*2; return 0; }};
思路二:贪心算法、动态规划
通过观察,所有最优分解都包含2或者3;那么递推基定义完后,
时间复杂度、空间复杂度:O(N)
class Solution {public: int cuttingRope(int n) { int dp[100]; dp[1]=1; dp[2]=2; dp[3]=3; if(n==2) return 1; if(n==3) return 2;for(int i=4;i<=n;i++){ dp[i] = max(2*dp[i-2], 3*dp[i-3]); } return dp[n]; }};
问题:上述问题,可能超出int32 的上限,导致返回错误,大数求余解法:面试题14- II. 剪绳子 II(数学推导 / 贪心思想 + 快速幂求余,清晰图解) - 剪绳子 II - 力扣(LeetCode)
方法一:循环求余;O(N)
保证每轮中间值都在范围内,依次取余;
class Solution {public: int cuttingRope(int n) { if(n == 2) return 1; if(n == 3) return 2; int mod = 1000000007; long res=1; while(n>4){ res = res*3%mod; n -= 3; } return n*res%mod;//n=4 }};
方法二: 快速幂取余 O(log N)
也就是二分取余,每次让 a/=2;n为绳子长,3是最优解, a = n/3-1 是让指数向下取整并且再减一,应对 余数b为 1、2的情况(上述的特殊化处理);
此时,a要分奇偶两种情况, 偶数:则执行 x2运算,并且取余;
奇数:则 执行×3 运算,并取余,再执行x2运算;
class Solution {public: int cuttingRope(int n) { if(n == 2) return 1; if(n == 3) return 2; int mod = 1000000007; int b = n%3; long rem = 1,x = 3; for(int a = n/3-1;a > 0;a /= 2){ if(a % 2 == 1) rem = (rem*x)%mod;//奇数 x = (x*x)%mod;//偶数 } if(b == 1) return rem*4%mod;//n=4 if(b == 0) return rem*3%mod; //n=6 if(b == 2) return rem*6%mod;//n=5 return 0; }};
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