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Copula

2023-02-09 19:12:59 来源：博客园

Copula

金融数据常体现相关性，传统多元分析的统计方法通常假设联合正态分布，然而这种做法的局限性很强，因为金融数据通常并不体现“正态”。

(资料图片仅供参考)

Copula: 提供灵活与通用的生成给定单变量边际分布的多元分布。由于边际分布已确定，联合分布则能通过这已确定的边际分布变换到单位立方体 cube: $[0, 1]$ 上。

一个 $n$ 元的 copula 是在单位立方体 cube $[0, 1]$ 上的多元分布，并且其边际的分布为 $\mbox{Uniform}(0, ~ 1)$。

先从二元的 copula 入手

Definition 1.

设有一个定义在 $[0, 1] \times [0, 1]$ 上的二元函数 $G$，如果：

\[\forall u, v \in [0, 1]: ~ G(u, 0) = G(0, v) = 0\]

则称 bivariate function $G$ is grounded。

定义 1. 的意思即是说一个 grounded bivariate function，必定满足定义域为 $[0, 1] \times [0, 1]$，并且函数在定义域正方形靠在 $x, y$ 两轴上的边上取值为 $0$。

Definition 2.

如果：

\[\forall u_{1} \leq u_{2}, ~ v_{1} \leq v_{2}: ~ G(u_{2}, v_{2}) - G(u_{2}, v_{1}) - G(u_{1}, v_{2}) + G(u_{1}, v_{1}) \geq 0\]

那么称：bivariate function $G$ is 2-increasing。并且，如果 $G$ 同时二阶可微，那么：

\[\mbox{2-increaing} \quad \iff \quad \frac{\partial^{2}G(u, v)}{\partial u \partial v} \geq 0\]

这里前半句的意思实际是，在 $[0, 1] \times [0, 1]$ 的正方形区域内，任意再取一个小正方形，使得四个点坐标分别为：左下： $(u_{1}, v_{1})$，右下：$(u_{2}, v_{1})$，左上：$(u_{1}, v_{2})$ 以及右上： $(u_{2}, v_{2})$。那么此处条件实际为：

\[\mbox{左下 + 右上 $\geq$ 左上 + 右下}\]

Definition 3.

一个二元 copula $C$ 是一个定义在 $[0, 1] \times [0, 1]$ 上的函数，同时满足：

(a) $C$ is grounded.

(b) $C$ is $\mbox{2-increasing}$.

(c)对于 $\forall u, v \in [0, 1]: ~ C(u, 1) = u, ~ C(1, v) = v$

Corollary 1.

一个二元函数 当且仅当它定义在 $[0, 1] \times [0, 1]$ 上且边际分布服从均匀分布时（很显然只能是$\mbox{Unif}[0, 1]$ 的均匀分布）为一个 copula。

Proof.

$\Longleftarrow$

假设有一个二元函数 $f_{X, Y}(x, y)$ 其中 $x, y \in [0, 1]$，并且对于 marginal distribution 有：

\[\int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, y) ~ dy= f_{X}(x) = a \in \mathbb{R}\\\int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, y) ~ dx= f_{Y}(y) = b \in \mathbb{R}\\\]

首先，copula 的定义域条件（i.e. $[0, 1] \times [0, 1]$）已经给出。并且显然 $a = b = 1$，因为：
\[\int^{1}_{0}\int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, y) ~ dy~dx = 1 = \int^{1}_{0} a ~ dx = a\\\int^{1}_{0}\int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, y) ~ dx~dy = 1 = \int^{1}_{0} a ~ dy = b\\\]

其次，当 $x=0$ 时，
\[\begin{align*}\int^{1}_{0} f_{X, Y}(0, y) ~ dy = f_{X}(0) = a \quad & \implies \quad \frac{\partial \int^{1}_{0} f_{X, Y}(0, y) ~ dy}{\partial y} = \frac{\partial f_{X}(x)}{\partial y} = 0\\& \implies \quad f_{X, Y}(0, y) = 0\end{align*}\]
同理，当 $y = 0$ 时，
\[\begin{align*}\int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, 0) ~ dx = f_{Y}(0) = b \quad & \implies \quad \frac{\partial \int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, 0) ~ dx}{\partial x} = \frac{\partial f_{Y}(y)}{\partial x} = 0\\& \implies \quad f_{X, Y}(x, 0) = 0\end{align*}\]
因此函数 $f_{X,Y}(x,y)$ is grounded.

令：
\[F_{X, Y}(x, y) = \int^{y}_{0} \int^{x}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt\]
那么对于：
\[\begin{align*}\forall y \in [0, 1]: ~ F_{X, Y}(1, y) & = \int^{y}_{0} \int^{1}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \\& = \int^{y}_{0} f_{Y}(t) ~ dt \\& = \int^{y}_{0} 1 ~ dt \\& = y\end{align*}\]

同理：

\[\begin{align*}\forall x \in [0, 1]: ~ F_{X, Y}(x, 1) & = \int^{1}_{0} \int^{x}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \\& = \int^{x}_{0} \int^{1}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ dt ~ ds \\& = \int^{x}_{0} f_{X}(s) ~ ds \\& = \int^{x}_{0} 1 ~ dt \\& = x\end{align*}\]

对于 $\forall x_{1} \leq x_{2}, ~ y_{1} \leq y_{2}, ~ x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \in [0, 1]$：

\[\begin{align*}& F_{X, Y}(x_{2}, y_{2}) + F_{X, Y}(x_{1}, y_{1}) - F_{X, Y}(x_{2}, y_{1}) - F_{X, Y}(x_{1}, y_{2}) \\= & \int^{y_{2}}_{0} \int^{x_{2}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt + \int^{y_{1}}_{0} \int^{x_{1}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt ~ - \\& \int^{y_{2}}_{0} \int^{x_{1}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt - \int^{y_{1}}_{0} \int^{x_{2}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt\\= & \int^{y_{2}}_{0} \left( \int^{x_{2}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds - \int^{x_{1}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds \right) ~ dt ~ + ~ \\& \int^{y_{1}}_{0} \left( \int^{x_{1}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds - \int^{x_{2}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds \right) ~ dt \\= & \int^{y_{2}}_{0} \int^{x_{2}}_{x_{1}} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt ~ - \int^{y_{1}}_{0} \int^{x_{2}}_{x_{1}} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \\= & \int^{y_{2}}_{y_{1}} \int^{x_{2}}_{x_{1}} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt\end{align*}\]

因此，由于 $x_{2} \geq x_{1}, ~ y_{2} \geq y_{1}$，并且对于 $\forall x, y \in [0, 1]: ~ f_{X, Y}(x, y) \geq 0$，所以根据 Riemann Integration 的基本性质，可得：

\[ \int^{y_{2}}_{y_{1}} \int^{x_{2}}_{x_{1}} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \geq 0\]

这意味着：

\[\forall x_{1} \leq x_{2}, ~ y_{1} \leq y_{2}, ~ x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \in [0, 1]: ~ F_{X, Y}(x_{2}, y_{2}) + F_{X, Y}(x_{1}, y_{1}) - F_{X, Y}(x_{2}, y_{1}) - F_{X, Y}(x_{1}, y_{2}) \geq 0\]

因此函数 $F_{X,Y}(x, y)$ is 2-increasing。

综上所述，由 copula 的定义，即证毕函数 $F_{X,Y}(x,y)$ 为一个 copula。

$\Longrightarrow$

假设函数 $C(u, v)$ 是一个 copula，那么它定义在 $[0, 1] \times [0, 1]$ 之上，即 $u, v \in [0, 1]$。

Copula 满足 2-increasing, 那么对于 $\forall u_{1} \leq u_{2}, ~ v_{1} \leq v_{2}$：

\[C(u_{2}, v_{2}) - C(u_{2}, v_{1}) - C(u_{1}, v_{2}) + C(u_{1}, v_{1}) \geq 0\]

同时 $C(u, v)$ 还应当满足：

\[\forall u, v \in [0, 1]: ~ C(u, 1) = C(1, v) = 1, ~ C(u, 0) = C(0, v) = 0\]

那么自然能够求得二维 copula $C$ 的两个边缘分布：

\[C_{U} = \int^{1}_{0} C(u, 1) ~ du = \int^{1}_{0} 1 ~ du = 1\\C_{V} = \int^{1}_{0} C(1, v) ~ dv = \int^{1}_{0} 1 ~ dv = 1\]

故 Corollary 1.证毕。

Corollary 2.

以下三个函数都为 copulas：

（a） $C^{-}(u, v) = \max(u + v - 1, ~ 0)$

（b） $ C^{+}(u, v) = \min(u, ~ v)$

（c） $C^{\perp}(u, v) = u \cdot v$

Definition 4.

对于两个 copulas: $C_{1}$ 和 $C_{2}$，如果对于 $\forall u, v \in [0, 1]$，都满足 $C_1(u, v) \leq C_{2}(u, v)$，则称 $C_{1}$ 小于 $C_{2}$，记作 $C_{1} \prec C_{2}$。

Corollary 3.

对于任意一个 copula $C$, 都有：$C^{-} \prec C \prec C^{+}$。

----

Proof.

Copula $C$ 是一个如下所示的二元函数：

\[C: [0, 1] \times [0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad (u, v) \longrightarrow C(u, v)\]

根据定义，有：

\[\forall u \in [0, 1]: ~ C(u, 1) = u\\\forall v \in [0, 1]: ~ C(1, v) = v\]

现在，我们在函数的正方形定义域 $[0, 1] \times [0, 1]$ 内构造另外一个正方形，其中它的四个顶点的坐标分别为：

\[(u, 0), ~ (1, 0), ~ (1, v), ~ (u, v)\]

根据 2-increasing的性质，我们有：

\[C(1, v) + C(u, 0) \geq C(1, 0) + C(u, v)\]

一个 copula 根据定义必须 grounded，这意味着：

\[C(u, 0) = C(1, 0) = 0\]

因此：

\[C(1, v) \geq C(u, v)\]

相似地，我们可以建立另外一个正方形，通过相同操作得到：

\[C(u, 1) \geq C(u, v)\]

因此我们已经证明：

\[\min(u, v) \geq C(u, v)\]

欲想证明 $C(u, ~ v) \geq C^{-}(u, v)$，首先注意到：

\[\begin{align*}C(u, v) & = P(U \leq u, ~ V \leq v) = P(U \leq u) + P(V \leq v) - P(\left\{ U \leq u \right\} \cup \left\{ V \leq v \right\})\\& \geq u + v - 1\end{align*}\]

根据定义，我们有：

\[C(u, v) \geq 0\]

因此：

\[C(u, v) \geq \max(u + v - 1, ~ 0) = C^{-}(u, ~v)\]

我们最终可得：

\[C^{-}(u, v) \leq C(u, v) \leq C^{+}(u, v)\]

Sklar Theorem (Sklar, 1959)

令 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为两个单变量分布函数，那么以下结论成立：

如果 $C$ 是一个 copula，那么 $C(F_{1}(x), ~ F_{2}(y))$ 是一个 bivariate distribution function。
若 $F(x, y)$ 是一个 bivariate distribution function，且拥有边界分布 $F_{1}$ 和 $F_{2}$，那么恰好存在一个 copula $C$ 使得 $F(x, y) = C(F_{1}(x), ~ F_{2}(y))$。

注：在 2. 中，copula 可以被表示为 $C(u, v) = F\left( F^{-1}_{1}(x), ~ F^{-1}_{2}(y) \right)$

Gaussian Copulas

对于一个二元高斯（正态）分布，其边际密度函数（marginal P.D.F.）分别为 $N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2})$ 和 $N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2})$，且两个随机变量的相关系数为 $\rho$，我们则可以通过 Sklar Theorem中的 1.来求得 copula C。因为在对两个正态随机变量进行标准化（即 $\frac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}}$ 和 $\frac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}$）后，copula C 不再取决于边际函数（即两个正态随机变量）的变量与方差，而是仅仅取决于相关系数 $\rho$，即：

令 $\phi$ 记为标准正态分布，令 $\phi_{\rho}$ 记作两个边际函数皆为标准正态分布的二元高斯分布，且两边际随机变量的相关系数为 $\rho$，我们则有：

\[C^{G}_{\rho}(u, v) = \phi_{\rho}\left( \phi^{-1}(u), ~ \phi^{-1}(v) \right)\]

同时，我们称 $\left\{ C^{G}_{\rho} : \rho \in [−1, 1] \right\}$ 为 “the family of Gaussian Copulas“。

Archimedean Copulas

生成器（Generator） $g$ 是一个在 $[0, 1]$ 上严格递减的函数，且 $g(1) = 0$。一个 generator $g$ 所对应的 Archimedean Copula 记作：

\[C^{A}_{g}(u, v) = g^{-1}\left( g(u) + g(v) \right)\]

其中，当 $g(0) < \infty$ 时，定义：$g^{-1}(x) = 0$ for $\forall x \geq g(0)$。

Gumbel

令：

\[g_{\alpha}(u) = (−\log{u})^{\alpha}, \qquad \alpha \in [1, \infty]\]

此时：

\[C_{\alpha}(u, v) = e^{-\left[ (-\log{u})^{\alpha} + (-\log{v})^{\alpha}\right]^\frac{1}{\alpha}}\]

Clayton

令：

\[g_{\alpha}(u) = \begin{cases}\alpha^{−1} \left( u^{-\alpha} − 1 \right) \qquad \quad \alpha \in \left[−1, 0 \right) \cup \left(0, \infty \right)\\-\log{u} \qquad \qquad \qquad \alpha = 0\end{cases}\]

那么其对应的 Copula 为：

\[C_{\alpha}(u, v) = \frac{1}{\left[ \max(u^{-\alpha} + v^{-\alpha} - 1, ~ 0) \right]^{\frac{1}{\alpha}}} \qquad \qquad \alpha \in \left[−1, 0 \right) \cup \left(0, \infty \right)\]

Frank

令：

\[g_{\alpha}(u) = \begin{cases}-\log\left[ \frac{e^{-\alpha u}-1}{e^{-\alpha}-1} \right] \qquad \quad \alpha \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \\-\log{u} \qquad \qquad \qquad \alpha = 0\end{cases}\]

那么其对应的 Copula 为：

\[C_{\alpha}(u, v) = -\frac{1}{\alpha} \cdot \log\left[ 1 + \frac{(e^{-\alpha u}-1)(e^{-\alpha v}-1)}{e^{-\alpha}-1} \right] \qquad \qquad \alpha \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}\]

关键词：相关系数另外一个标准正态分布