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[概率论与数理统计]笔记:5.4 假设检验概述
5.4 假设检验概述
假设检验问题的提法
基本概述
在实际问题中,总体分布通常是未知的,可能是分布的类型未知,也可能是分布的相关参数未知,比如已知是正态分布,但是不知道参数\(\mu,\sigma^2\)是多少。
于是总体分布未知可以分为类型未知和参数未知两种情况。
对于这些未知,我们可以提出一种推断,比如说”假设总体服从正态分布“,或者说”假设正态分布的\(\mu\)是100“,这些推断叫做假设。
(资料图片)
因为参数未知进行的推断叫做参数假设,而对其他未知比如类型未知进行的推断叫做非参数假设。
假设之后,我们需要使用样本来证明我们推断的准确性,这个过程叫做假设检验。
对参数假设进行的检验叫做参数假设检验,对非参数假设进行的检验叫做非参数假设检验。
假设
- 待检验的假设称为原假设或零假设,记作\(H_0\).
- 与之对立的假设称为备择假设或对立假设,记作\(H_1\).
二者是二选一,接受其中一个假设就意味着拒绝另一个假设。
一个假设检验问题通常简记为\(H_0\leftrightarrow H_1\).
案例
有一新工艺,不知道是否能提高生产效率,那么\(H_0\)可以是"生产效率不变",而\(H_1\)是”新工艺使得生产效率提高“。
\(H_0\)可以理解为研究者想要推翻的结论,\(H_1\)是研究者想要证明的结论。
这个案例可以简记为:\(H_0:生产效率不变\leftrightarrow H_1:生产效率提高\).
假设检验问题
- 显著性假设检验问题——只提出唯一假设\(H_0\)
- \(H_0\)对\(H_1\)假设检验问题——提出两个假设
基本思想与原理
小概率原理
小概率事件在一次试验中不太可能发生。
论证逻辑
如果\(H_0\)成立导致了小概率事件发生,那么我们就拒绝假设\(H_0\). (即怀疑该假设的准确性)
基本概念
- 显著性水平\(\alpha\):在假设检验问题中,小概率事件发生的概率,是事先指定的一个很小的正数。
- 拒绝域:小概率事件对应的样本的取值区域。
当有样本观察值落在拒绝域内,就说明发生了小概率事件,于是便拒绝零假设。
假设检验与置信区间
假设检验与置信区间都需要构造枢轴量。
在求解置信区间的时候,枢轴量有一个未知的\(\mu\)或者\(\sigma^2\)需要求解,关注的是概率为\(1-\alpha\)的大概率事件。
而假设检验的时候,枢轴量中的\(\mu\)或\(\sigma^2\)会代入\(H_0\)假设的数值,然后再根据样本的实际观察值检验是否落在拒绝域内,关注的是概率为\(\alpha\)的小概率事件。
基本思想
- 构造一个含待检验参数和分布已知的枢轴量\(T\),在假设\(H_0\)成立的条件下,确定拒绝域。
- 检验法则:小概率事件是否发生。
- \(P\{(X_1,X_2,\cdots,X_n)\in W\}=\alpha\)对应小概率事件,其中\(W\)称为\(H_0\)的拒绝域。
- \(P\{(X_1,X_2,\cdots,X_n)\in \overline{W}\}=1-\alpha\)对应大概率事件,其中\(\overline{W}\)对应\(H_1\)的接受域。
假设检验的一般步骤
第1步:提出\(H_0\leftrightarrow H_1\).
第2步:假设\(H_0\)成立,构造枢轴量\(T\),确定其分布。
第3步:对于给定的\(\alpha\),根据\(P\{(X_1,X_2,\cdots,X_n)\in W\}=\alpha\)求解确定拒绝域\(W\).
第4步:由样本数据\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)求出统计量\(T\)的值:
- 如果\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\in W\),则拒绝\(H_0\),接受\(H_1\).
- 如果\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \overline{W}\),则接受\(H_0\),拒绝\(H_1\).
两类错误
在假设检验中,我们通过样本来检验假设的准确性。
而抽样具有随机性,并且有时样本容量过小,或者其他原因,都会导致最终的推断可能出现错误。
统计推断是具有误差的,比如天气预报。
第一类错误
弃真:\(H_0\)是成立的,但是被拒绝了。
犯第一类错误的概率记为:
\[P\{拒绝H_0|H_0为真\}=\alpha\]这里的\(\alpha\)记号和上文的小概率事件的概率不是同一个记号。
第二类错误
纳伪/取伪:\(H_0\)不成立,但是被接受了。
犯第二类错误的概率记为:
\[P\{接受H_0|H_0为假\}=\beta\]目标与现实
我们希望\(\alpha\)和\(\beta\)越小越好,但是在实际问题中很难做到同时降低两个错误率,除非将样本容量\(n\)无限加大,而实际问题中抽样是需要成本的,所以很难同时降低\(\alpha\)和\(\beta\)。
通常,我们更重视\(\alpha\),在\(\alpha\)很小的条件下,再尽量降低\(\beta\).
思路:宁信其有,不信其无,或者说严重点记作宁可杀错不可放过。
案例:
某刑事案件中有犯人1个,但是只要是有嫌疑的人都会被调查访问。
在这个案例中,第一类错误就是把犯人放跑了,即弃真;第二类错误是只要有嫌疑的人都会被调查,不管其是否真的是犯人,即纳伪。显然我们更关注的是真的那个犯人,所以我们的首要任务是要把第一类错误的错误率压下去,即只要是有嫌疑的人都要被调查访问。
体检:不确定身体有没有问题?那就检查一下。
我们不希望“生病了但是不知道自己生病了”,也就是不希望出现第一类错误。就算是没有的病,体检的时候也要检查一下,所以第二类错误在这个案例中是无关紧要的。
使用教材:《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社
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