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全球热点![概率论与数理统计]笔记:5.2 参数的最大似然估计与矩估计

来源:博客园

5.2 参数的最大似然估计与矩估计

估计其实就是猜数。

最大似然估计

基本思想

  • 概率大的事件比概率小的事件更易发生。
  • 将使事件\(A\)发生的概率最大的参数\(\theta\)作为估计值。

案例

总体:100个球(黑球或白球)


(资料图片仅供参考)

需要估计的参数:黑球的个数\(\theta=99\)或\(1\)

抽样:摸球并放回

结论:

如果经常摸出黑球,则估计\(\theta=99\)

如果经常摸出白球,则估计\(\theta=1\)

做题模板

  1. 写出总体的概率函数/密度函数。(分别对应离散型/连续型)

  2. 写出似然函数\(L(\theta)\).

    似然函数表示取得样本的概率,所以是概率函数值相乘的格式,求导很复杂,所以要使用自然对数将乘除转化为加减。

  3. 两边取\(\ln\).

  4. 两边对参数\(\theta\)求(偏)导,令(偏)导数=0,使得似然函数取最大值的参数\(\theta\)就是估计值。

例题

泊松分布例题

例1:总体\(X\sim P(\lambda)\),样本\((X_1,\cdots,X_n)\),求\(\lambda\)的极大似然估计。

总体的概率函数为:

\[P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \quad (k=0,1,2,\cdots)\]

则\(\lambda\)的似然函数为:

\[L(\lambda)=\prod\limits_{i=1}^n\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{x_1+x_2+\cdots+x_n}}{\prod\limits_{i=1}^nx_i!}e^{-n\lambda}\]

似然函数的因变量只有\(\lambda\).

这里的\(x_i\)都是具体的样本观测值,也就是常数,因此下面求导的时候可以直接去掉。

两边取\(\ln\)

\[\ln L(\lambda)=-\ln \prod\limits_{i=1}^nx_i!+(x_1+\cdots+x_n)\ln \lambda-n\lambda\]

两边对\(\lambda\)求导,并令导数为0

\[\frac{\mathrm{d}\ln L(\lambda)}{\mathrm{d}\lambda}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{\lambda}-n=0\]

因此\(\hat\lambda = \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}=\overline{X}\)

指数分布例题

例2:总体\(X\sim e(\lambda)\),样本\((X_1,\cdots,X_n)\),求\(\lambda\)的极大似然估计。

总体的密度函数为:

\[f(x;\lambda)=\left\{\begin{align*}& \lambda e^{-\lambda x},\quad x>0 \\& 0, \quad\quad\quad x\le 0\end{align*}\right.\]

则\(\lambda\)的似然函数为:

\[L(\lambda)=\prod\limits_{i=1}^n\lambda e^{-\lambda x}=\lambda^ne^{-\lambda(x_1+\cdots+x_n)}\]

这里的\(f(x;\lambda)\)不会取到0的情况,因为样本已经取到了,认为其概率就是大于0的。

存疑:概率为0的事件也可能会发生,但是这里似乎忽略了这种情况?

两边取\(\ln\)

\[\ln L(\lambda)=n\lambda - \lambda(x_1+\cdots+x_n)\]

两边对\(\lambda\)求导,并令导数为0

\[\frac{\mathrm{d}\ln L(\lambda)}{\mathrm{d}\lambda}=\frac{n}{\lambda}-(x_1+\cdots+x_n)=0\]

因此\(\hat\lambda = \frac{n}{x_1+\cdots+x_n}=\frac{1}{\overline{X}}\)

正态分布例题

例3:总体\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\),样本\((X_1,\cdots,X_n)\),求\(\mu,\sigma^2\)的极大似然估计。

总体的密度函数为:

\[f(x;\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

则\(\mu, \sigma^2\)的似然函数为:

\[L(\mu, \sigma^2)=\prod\limits_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}=(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^n(\frac{1}{\sigma})^ne^{-\frac{(x_1-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

两边取\(\ln\)

\[\ln L(\mu, \sigma^2)=n\ln\frac{1}{\sqrt{2\pi}}-\frac{n}{2}\ln\sigma^2-\frac{(x_1-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2}\]

先对\(\mu\)求偏导,并令偏导数为0

\[\begin{align*}\frac{\partial\ln L(\mu,\sigma^2)}{\partial \mu}&= - \frac{[-2(x_1-\mu)]+\cdots+[-2(x_n-\mu)]}{2\sigma^2} \\&= \frac{(x_1-\mu)+\cdots+(x_n-\mu)}{\sigma^2} \\&= \frac{x_1+\cdots+x_n-n\mu}{\sigma^2} \\&= 0\end{align*}\]

因此\(\hat\mu= \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}=\overline{X}\).

再将\(\sigma^2\)作为整体对其求偏导

\[\frac{\partial\ln L(\mu,\sigma^2)}{\partial \sigma^2}=-\frac{n}{2}\frac{1}{\sigma^2}+\frac{(x_1-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2}{2\sigma^4}=0\]

化简得

\[\hat{\sigma^2} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)^2}{n}=B_2\]
均匀分布例题

例4:总体\(X\)服从\([\theta_1,\theta_2]\)上的均匀分布,样本\((X_1,\cdots,X_n)\),求\(\theta_1,\theta_2\)的极大似然估计。

总体的密度函数为:

\[f(x)=\left\{\begin{align*}& \frac{1}{\theta_2-\theta_1},\quad x\in[\theta_1,\theta_2] \\& 0, \quad\quad\quad\quad else\end{align*}\right.\]

则\(\theta_1,\theta_2\)的似然函数为:

\[L(\theta_1,\theta_2)=\prod\limits_{i=1}^n\frac{1}{\theta_2-\theta_1}=\frac{1}{(\theta_2-\theta_1)^n}\]

均匀分布是特殊情况,不能使用做题模板。

如果继续使用取对数求导的思路,会出现:

\[\frac{n}{\theta_2-\theta_1}=0\]

这样的情况,无法再继续求解。

因此应该转换思路。

为了取得似然函数的最大值,那么\((\theta_2-\theta_1)\)应该取最小值,也就是区间越小越好,但又要包含样本。

因此:

  • \(\hat{\theta_1}=\min\{x_1,\cdots,x_n\}\)
  • \(\hat{\theta_2}=\max\{x_1,\cdots,x_n\}\)

矩估计

基本思想

使用相应的样本矩去估计总体矩

使用相应的样本矩的函数去估计总体矩的函数

"相应的":一阶对应一阶,二阶对应二阶......

例题

例1:\(X\sim N(\mu, \sigma^2)\),\((X_1,\cdots,X_n)\)是样本,求\(\mu,\sigma^2\)的矩估计。

  • 总体的一阶原点矩:\(EX=\mu\),

  • 样本的一阶原点矩:\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\),

使用样本矩估计总体矩:\(\hat{\mu}=\overline{X}\);

  • 总体的二阶原点矩:\(EX^2\)

因为\(DX=EX^2-(EX)^2\)

所以\(EX^2=DX+(EX)^2=\sigma^2+\mu^2\)

  • 样本的二阶原点矩:\(A_2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2\).

所以\(\hat{EX^2}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2\).

所以

\[\begin{align*}\hat{\sigma^2}&= \hat{EX^2}-\hat{\mu^2} \\&= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\overline{X}^2 \\&= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2\end{align*}\]

这里最后的等号没有写错,可以反过来计算证明其正确性:

\[\begin{align*}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2&= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i^2-2X_i\overline{X}+\overline{X}^2) \\&= \frac{1}{n}\sum X_i^2-2\overline{X}(\frac{1}{n}\sum X_i)+\frac{1}{n}n\overline{X}^2 \\&= \frac{1}{n}\sum X_i^2-2\overline{X}\overline{X}+\overline{X}^2 \\&= \frac{1}{n}\sum X_i^2 -\overline{X}^2\end{align*}\]

因此:

\(\frac{1}{n}\sum X_i^2 -\overline{X}^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2\)

这里的\(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2\)其实就是二阶中心矩\(B_2\).

所以\(\hat{\sigma^2}=B_2\).

正态分布的两个参数的极大似然估计和矩估计的结果是一致的。

例2:\(X\sim P(\lambda)\),\((X_1,\cdots,X_n)\),求\(\lambda\)的矩估计.

泊松分布的期望和方差都是\(\lambda\),也就是说可以列出两个方程:

  • \(\hat{\lambda}=\overline{X}\)
  • \(\hat{\lambda}=B_2\)

究竟使用哪个作为估计值可以采取评价估计量的标准进行评估,比如有效性。这里使用一阶的\(\hat{\lambda}=\overline{X}\)更好。

例3:\(X\)服从\([\theta_1,\theta_2]\)上的均匀分布,求\(\theta_1,\theta_2\)的矩估计。

根据均匀分布的性质,有

  • \(EX=\frac{1}{2}(\theta_1+\theta_2)\)
  • \(DX=\frac{(\theta_2-\theta_1)^2}{12}\)

第一个式子可以用均值估计:\(\frac{1}{2}(\hat{\theta_1}+\hat{\theta_2})=\overline{X}\)

同时,有\(DX=EX^2-(EX)^2=EX^2-\frac{(\theta_1+\theta_2)^2}{4}\)

所以\(EX^2=\frac{(\theta_2-\theta_1)^2}{12}+\frac{(\theta_1+\theta_2)^2}{4}\).

\(EX^2\)使用\(A_2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2\)近似,样本是已知的,所以\(A_2\)是可计算的已知的量。

所以\(\frac{(\hat{\theta_2}-\hat{\theta_1})^2}{12}+\frac{(\hat{\theta_1}+\hat{\theta_2})^2}{4}=A_2\)

综上,可以列出两个方程用于求解\(\hat{\theta_1},\hat{\theta_2}\):

\[\left\{\begin{align*}& \frac{1}{2}(\hat{\theta_1}+\hat{\theta_2})=\overline{X} \\& \frac{(\hat{\theta_2}-\hat{\theta_1})^2}{12}+\frac{(\hat{\theta_1}+\hat{\theta_2})^2}{4}=A_2 \\\end{align*}\right.\]

求解得到:

\[\left\{\begin{align*}& \hat{\theta_1} = \overline{X}-\sqrt{3B_2} \\& \hat{\theta_2} = \overline{X}+\sqrt{3B_2}\end{align*}\right.\]

使用教材:《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社

关键词: 似然函数 均匀分布 极大似然估计