CQOI2007，洛谷P4710涂色

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CQOI2007，洛谷P4710涂色

2023-01-11 19:08:14 来源：博客园

(相关资料图)

题目描述

假设你有一条长度为 \(5\) 的木版，初始时没有涂过任何颜色。

你希望把它的 \(5\) 个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红色，用一个长度为 \(5\) 的字符串表示这个目标：RGBGR。

每次你可以把一段连续的木版涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色。

例如第一次把木版涂成 RRRRR，第二次涂成 RGGGR，第三次涂成 RGBGR，达到目标。

用尽量少的涂色次数达到目标。

解题思路

\(\qquad\)由于题目每次的操作都是对于一个区间进行操作，所以我们可以想到用区间DP求解。

\[状态表示：f(l, r)表示将区间[l,r]染色成目标颜色最少需要的染色次数\]

关于状态转移：

对于一个状态\(f(l,r)\)，我们进行如下分类讨论：

\[\begin{array}c 1.当l==r的时候，代表只有一个格子，所以只需要1次\Rightarrow f(l,r)= 1;\\\\2.当s[l] = s[r] 的时候（s是目标字符串），只要在[l.r]的子区间[l+1,r]\\染色的时候向左边多染一个，仍然是符合目标值的\Rightarrow f(l,r) = f(l+1,r)\\\\3.当s[l]\neq s[r]的时候，代表[l,r]这个区间将被染成两端不同的分别连续\\的颜色，\forall k\in[l,r)都可以作为断点，将区间分为[l,k]和[k+1,r]两块，得到\\\\[l,r]区间应该是分成的两个子区间之和\\枚举所有断点即可。\Rightarrow f(i,j) = min(f(i,j), f(i, k) + f(k + 1, j))\ (i\le k < j)\end{array}\]

整理上述情况就能得到\(DP\)的状态转移方程：

\[\Largef(i, j) = \left \{\begin{align}&1\ \ \ \ (i == j)\\&f(i + 1, j)\ \ \ (s[i]==s[j])\\&min (f(i, k) + f(k + 1,j))\ \ (k\in[l,r-1]\end{align}\right.\]

然后按照方程乱搞写就行了

这里放两份代码，分别是递推\(DP\)和记搜

递推

#include #include #include using namespace std;const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;int f[N][N], n;char s[N]; int main() {cin >> s + 1;int n = strlen(s + 1);memset(f, 0x3f, sizeof f);for (int i = 1; i <= n; i ++ ) f[i][i] = 1;for (int len = 2; len <= n; len ++ ) {    for (int i = 1, j = i + len - 1; j <= n; i ++, j ++ )     {        if (s[i] == s[j]) f[i][j] = f[i + 1][j];        else             for (int k = i; k < j; k ++ )                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j]);    }}printf("%d\n", f[1][n]);return 0;}

记搜

#include #include #include using namespace std;const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;int f[N][N], n;char s[N]; int dp(int l, int r) {int &v = f[l][r];if (~v) return v;if (l == r) return v = 1;v = INF;if (s[l] == s[r]) return v = dp(l + 1, r);else for (int k = l; k < r; k ++ ) v = min(v, dp(l, k) + dp(k + 1, r));return v;}int main() {cin >> s + 1;int n = strlen(s + 1);memset(f, -1, sizeof f);cout << dp(1, n) << endl;return 0;}

关键词：转移方程单位长度这个目标