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切比雪夫距离

2023-07-02 09:57:01 来源：博客园

切比雪夫距离

目录

切比雪夫距离
- 概念
- 理解
- 计算公式
- 推广

概念

在数学中，切比雪夫距离（Chebyshev distance）或是L∞度量，是向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义是其各坐标数值差绝对值的最大值。以数学的观点来看，切比雪夫距离是由一致范数（uniform norm）（或称为上确界范数）所衍生的度量，也是超凸度量（injective metric space）的一种。

理解

两点的切比雪夫距离其实就相当于国际象棋中国王（只能横、竖、斜走一格）从一个点走到另一个点所需的步数。

如图所示：

(资料图片仅供参考)

计算公式

二维平面上的切比雪夫距离就是国王移动问题，比如“国王”从 \((f , 3)\) 移动到 \((c , 5)\) 需要3步，那么这两个点的切比雪夫距离就是3

设这两个点分别是 \((x_1 , y_1) , (x_2 , y_2)\)

那就先要斜着走

\[min(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert)\]

再横着走或竖着走

\[max(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert) - min(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert)\]

所以两个点的切比雪夫距离就是

\[max(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert)\]

推广

n为空间上的切比雪夫距离

设两个点：\(A(x_{11} , x_{12} , \cdots , x_{1n}) , B(x_{21} , x_{22} , \cdots , x_{2n})\)

则这两个点的切比雪夫距离为：

\[d_AB = MAX_{i = 1}^n \lvert x_{1i} - x_{2n} \rvert\]

关键词：