复数的基本知识

2023-05-06 20:14:36 来源：博客园

复数的基本知识

复数的基本知识
- 前言
- 表示方法
  - 百度百科
  - 简单来说：
- 复数的运算

前言

这里只有一点点关于复数的知识，主要是最近的FFT要用到。

(资料图片仅供参考)

表示方法

百度百科

我们把形如 a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

简单来说：

我们定义： \(i ^ 2 = -1\) ，一个复数 \(z\) 可以表示为： \(z = a + b i (a , b \in R)\)

其中 \(a\) 为实部， \(b\) 为 **虚部 ** ，\(i\) 为 虚数单位

比如：\(\sqrt{-5} = \sqrt5\ i\)

我们还可以把复数表示为 复平面直角坐标系上的一个点，比如下面：

其中 \(x\) 轴表示实数， \(y\) 轴表示虚数。

这个点 \((2 , 3)\) 表示的复数就是 \(2 +3 i\) ，或者想象它代表的向量为 \((2 , 3)\)

我们还可以把它表示成 \((\sqrt{13} , θ)\)

一个复数 \(z = a + b i\) 的共轭复数为 \(a - bi\) （虚部取反）

复数的运算

复数不像点或向量，它和实数一样可以进行四则运算

复数相加满足 平行四边形法则

复数相乘满足 模长相乘，极角相加

设两个复数分别为 \(z_1 = a + bi , z_2 = c + di\) ，那么

\[z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \\\]\[z_1 + z_2 = (zc - bd) + (ad + bc)i \\\]\[(a_1 , θ_1) * (a_2 , θ_2) = (a_1 a_2 , θ_1 + θ_2)\]

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