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【环球报资讯】[概率论与数理统计]笔记：4.2 统计量

2023-01-23 20:55:59 来源：博客园

4.2 统计量

统计量的定义

样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量。

常用的统计量

样本均值

即样本的算术平均值：

\[\overline{X}=\frac{1}{n}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\]

样本方差

未修正样本方差

(资料图片仅供参考)
\[S_0^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2,\]
修正样本方差
\[S^2=\frac{n}{n-1}S_0^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2,\]
修正样本方差具有更好的统计性质而更常用。
修正样本方差简称样本方差。

样本标准差

即样本方差的算术平方根：

\[S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}\]

样本原点矩

样本的\(k\)阶原点矩：

\[A_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^k,\quad\quad k\ge 1\]

一阶原点矩就是样本均值。

样本中心矩

样本的\(k\)阶中心矩：

\[B_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^k,\quad\quad k\ge 2\]

二阶中心矩就是未修正样本方差。

样本均值，样本方差，样本标准差，样本原点矩，样本中心矩可统称为样本的矩统计量，简称为样本矩。
它们都可以表示为样本的显式函数。
顺序统计量则不能表示为显式函数。

顺序统计量

将样本中的分量按由小到大的顺序排列：

\[X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)}\]

将\((X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)})\)称为样本的一组顺序统计量。

\(X_{(1)}=\min(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)
\(X_{(n)}=\max(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)
极差：\(X_{(n)}-X_{(1)}\)

枢轴量

统计量不包含未知参数，而对于仅含一个未知参数，分布已知的样本函数，称为枢轴量。

使用教材：《概率论与数理统计》第四版中国人民大学龙永红主编高等教育出版社

关键词：样本方差样本均值顺序统计量