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全球视点![概率论与数理统计]笔记:4.1 总体与样本

来源:博客园

第四章 数理统计的基础知识

4.1 总体与样本

总体与总体分布

概念

  • 总体:在某种共性基础上由许多个别事物结合起来的整体。
  • 个体:指构成统计总体的个别事物的总称。
  • 总体的容量:总体中个体的个数。
  • 有限总体:容量有限的总体。
  • 无限总体:容量无限的总体。

每一个个体代表一次试验的观察值,不同个体可以有相同的观察值。

在统计学中,称\(X\)为总体,把\(X\)的分布称为总体的分布


(资料图片仅供参考)

  • 表示总体的\(X\)可以是随机变量或随机向量。
  • 个体的定性指标可以转化为数量指标,从而设定一个随机变量来表示研究的总体。
  • 总体分布就是设定的\(X\)的分布,一般是未知的。统计学的主要任务就是对总体的未知分布进行推断。

样本与样本分布

概念

  • 样本:通过一定方法从总体中取出若干个体组成的子集。

  • 简单随机样本:\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\),其中\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立同分布,且与总体\(X\)同分布。

  • 简单随机抽样:使每个可能的样本被抽中的概率相等的一种抽样方式。

  • 样本值:样本的一组具体的观察值。

  • 样本空间:全体样本值组成的集合。

  • 样本分布:

    设总体\(X\)的分布函数为\(F(x)\),则样本\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\)的分布函数为

    \[F_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^nF(x_i),\]

    称之为样本分布

    • 若\(X\)为连续型随机变量,密度函数为\(f(x)\),则样本的密度函数为:
    \[f_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^nf(x_i).\]
    • 若\(X\)为离散型随机变量,概率分布为\(p(x)=P\{X=x\}\),\(x\)取遍\(X\)所有可能取值,则样本的概率分布为:\[p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P\{X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n\}=\prod\limits_{i=1}^np(x_i).\]

统计推断问题简述

通过样本的特征选择适合的分布(模型),并由此对总体分布中所含的未知参数作出统计推断

使用教材:《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社

关键词: 样本分布 总体分布 随机变量