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[概率论与数理统计]笔记:1.5 事件的独立性

来源:博客园

1.5 事件的独立性

两个事件的独立性

定义

如果一个事件\(B\)发生与否对另一个事件\(A\)发生的概率没有任何影响,则


(资料图片仅供参考)

\[P(A|B)=P(A)\]

其中,\(P(B)>0\),称\(A\)独立于\(B\).

对称的,如果\(P(B|A)=P(B),P(A)>0\)则称\(B\)独立于\(A\).

综合起来,如果:

\[P(AB)=P(A)P(B)\]

(其中\(P(A)>0,P(B)>0\)),则称\(A\)与\(B\)相互独立,简称\(A\)与\(B\)独立

推论

  1. \(\varnothing\)和\(\Omega\)与任意事件\(A\)独立。
  2. 若\(A,B\)独立,则\(A,\overline{B}\)独立,\(\overline{A},B\)独立,\(\overline{A},\overline{B}\)独立。
  3. 若\(P(A)=0\)或\(P(A)=1\),则\(A\)与任意事件独立。

\(P(A)=0\)不等价于\(A=\varnothing\),\(P(A)=1\)不等价于\(A=\Omega\)。

举例

线段\([0,1]\)上随机投一质子,落在某一点上的概率为0,但是该事件不是\(\varnothing\);

质子落在区间\((0,1)\)内的概率为1,但是该事件不是\(\Omega\)(还差0和1这两个点)。

联系

独立和互不相容这两个概念没有必然联系

  • 独立是以概率的角度,互不相容是以事件的关系运算的角度。

  • 独立和互不相容不同时成立:

    • 若\(A,B\)独立,则\(P(AB)=P(A)P(B)>0\)
    • 若\(A,B\)互不相容,则\(AB=\varnothing\),\(P(AB)=0\).

    两者不会同时发生。

  • 互不相容表现为:\(A\)发生了,\(B\)就一定不可能发生。而独立表现为:\(A\)发生了,\(B\)可能发生也可能不发生,和\(A\)没有关系。

常用题型

  1. 投篮、射击类题目,多次试验相互独立。
  2. 题目指明事件\(A,B,C,\cdots\)相互独立。

有限个事件的独立性

定义

设\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)为\(n(n\ge2)\)个事件,如果对其中任何\(k(2\le k\le n)\)个事件\(A_{i_1},A_{i_2},\cdots,A_{i_k}(1\le i_1\[P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})\]

则称\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)相互独立

伯努利概型

相关概念

  1. 独立试验序列:\(E_1,E_2,\cdots,E_n\)相互独立
  2. \(n\)重独立试验:\(E,E,\cdots,E\) 同一试验重复\(n\)次,相互独立
  3. 伯努利试验:结果只有两种,\(\Omega=\{A,\overline{A}\}\)
  4. \(n\)重伯努利试验:\(n\)次,独立,结果只有两种。

定理

事件\(A\)发生的概率为\(p(0

\(n\)重伯努利试验中,\(A\)发生\(k\)次:

\[P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\]

如果记\(q=1-p\),则公式可记为:

\[P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k}\]

这个公式叫二项概率公式.

使用教材:《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社

关键词: 互不相容 伯努利试验 概率论与数理统计