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[概率论与数理统计]笔记:1.5 事件的独立性
1.5 事件的独立性
两个事件的独立性
定义
如果一个事件\(B\)发生与否对另一个事件\(A\)发生的概率没有任何影响,则
(资料图片仅供参考)
\[P(A|B)=P(A)\]其中,\(P(B)>0\),称\(A\)独立于\(B\).
对称的,如果\(P(B|A)=P(B),P(A)>0\)则称\(B\)独立于\(A\).
综合起来,如果:
\[P(AB)=P(A)P(B)\](其中\(P(A)>0,P(B)>0\)),则称\(A\)与\(B\)相互独立,简称\(A\)与\(B\)独立。
推论
- \(\varnothing\)和\(\Omega\)与任意事件\(A\)独立。
- 若\(A,B\)独立,则\(A,\overline{B}\)独立,\(\overline{A},B\)独立,\(\overline{A},\overline{B}\)独立。
- 若\(P(A)=0\)或\(P(A)=1\),则\(A\)与任意事件独立。
\(P(A)=0\)不等价于\(A=\varnothing\),\(P(A)=1\)不等价于\(A=\Omega\)。
举例:
线段\([0,1]\)上随机投一质子,落在某一点上的概率为0,但是该事件不是\(\varnothing\);
质子落在区间\((0,1)\)内的概率为1,但是该事件不是\(\Omega\)(还差0和1这两个点)。
联系
独立和互不相容这两个概念没有必然联系:
独立是以概率的角度,互不相容是以事件的关系运算的角度。
独立和互不相容不同时成立:
- 若\(A,B\)独立,则\(P(AB)=P(A)P(B)>0\)
- 若\(A,B\)互不相容,则\(AB=\varnothing\),\(P(AB)=0\).
两者不会同时发生。
互不相容表现为:\(A\)发生了,\(B\)就一定不可能发生。而独立表现为:\(A\)发生了,\(B\)可能发生也可能不发生,和\(A\)没有关系。
常用题型
- 投篮、射击类题目,多次试验相互独立。
- 题目指明事件\(A,B,C,\cdots\)相互独立。
有限个事件的独立性
定义
设\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)为\(n(n\ge2)\)个事件,如果对其中任何\(k(2\le k\le n)\)个事件\(A_{i_1},A_{i_2},\cdots,A_{i_k}(1\le i_1 则称\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)相互独立。 事件\(A\)发生的概率为\(p(0 \(n\)重伯努利试验中,\(A\)发生\(k\)次: 如果记\(q=1-p\),则公式可记为: 这个公式叫二项概率公式. 使用教材:《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社伯努利概型
相关概念
定理
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