真实感渲染：变换（二维与三维）

2022-12-09 07:23:18 来源：博客园

大家好~本课程为“真实感渲染”的线上课程，从0开始，介绍相关的图形学算法和数学基础，给出详细的数学推导、伪代码和实现代码，最终带领大家开发出基于物理的渲染器

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回顾相关课程
为什么要学习本课
主问题：什么是2D变换
主问题：什么是齐次坐标
- 为什么要引入“齐次坐标”
主问题：更多的2D变换有哪些
主问题：什么是3D变换
总结
参考资料
扩展阅读

回顾相关课程

什么是矩阵？

为什么要学习本课

3D中物体有哪些变换？答：平移、旋转、缩放
演示相关的变换
3D到2D的投影需要进行变换

主问题：什么是2D变换

如何进行缩放？
- 缩放矩阵是多少？答： \(\begin{bmatrix}x" \\y"\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}s_x & 0 \\0 & s_y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix} \)
- 如何进行反射？
  - 反射矩阵是多少？答： \(\begin{bmatrix}x" \\y"\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix} \)
如何进行旋转？默认为绕着原点（0, 0）逆时针旋转
- 旋转矩阵是多少？\(R_\theta = \begin{bmatrix}? & ? \\? & ?\end{bmatrix} \)答：\(R_\theta = \begin{bmatrix}cos\theta & -sin\theta \\sin\theta & cos\theta\end{bmatrix} \)

推导过程如下图所示：

通过变换(1,0)点，可以得到矩阵的A、C值：

同理，通过变换(0,1)点，可以得到矩阵的B、D值

什么是线性变换？答：
缩放和旋转是否属于线性变换？答：是
如何进行平移？
- 它的表达式是什么？答：

\[\begin{bmatrix}x" \\y"\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}t_x \\t_y\end{bmatrix} \]

如何进行平移？
- 能够得到2D的平移矩阵吗？答：不能
- 平移属于线性变换吗？答：不属于

主问题：什么是齐次坐标

为什么要引入“齐次坐标”

如何才能统一缩放、旋转、平移为都使用一个矩阵来变换？答：引入齐次坐标
什么是齐次坐标？答：
向量+向量=?答：向量
点-点=?答：向量
点+向量=?答：点
\(\begin{bmatrix}x \\y \\w\end{bmatrix} = ? \\其中：w \neq 0\)答：\(\begin{bmatrix}x \\y \\w\end{bmatrix} = 2D 点：\begin{bmatrix}\frac{x}{w} \\\frac{y}{w} \\1\end{bmatrix} \)
点+点=?答：因为相加的结果经过上面的变换后，可变换为点，所以相加的结果为点
用加了齐次坐标的矩阵来表达平移的表达式是什么？答：

\[\begin{bmatrix}x" \\y" \\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & t_x \\0 & 1 & t_y \\0 & 0 & 1\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y \\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x + t_x \\y + t_y \\1\end{bmatrix} \]

主问题：更多的2D变换有哪些

什么是仿射变换？答：
用齐次坐标后如何修改？答：
用齐次坐标后，缩放、旋转、平移的矩阵是什么？答：
什么是逆变换？答：
如何进行组合变换？
- 如何进行下图的变换？
答：有两种方式：先位移再旋转和先旋转再位移

变换的顺序对结果有影响！

这里应该使用先旋转再位移，表达式为：

如何进行组合变换？
- 如何提高性能？答：
- 如何绕一个点旋转？答：
- 表达式是什么？答：

主问题：什么是3D变换

什么是3D的齐次坐标？答：
\(\begin{bmatrix}x \\y \\z\\w\end{bmatrix} = ? \\其中：w \neq 0\)答：\(\begin{bmatrix}x \\y \\z\\w\end{bmatrix} = 3D 点：\begin{bmatrix}\frac{x}{w} \\\frac{y}{w} \\\frac{z}{w} \\1\end{bmatrix} \)
什么是3D的仿射变换？答：

\[\begin{bmatrix}x" \\y" \\z" \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b& c \\d & e& f \\g & h& i \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}t_x \\t_y \\t_z \\\end{bmatrix} \]

用齐次坐标后如何修改？答：

\[\begin{bmatrix}x" \\y" \\z" \\1\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b& c & t_x \\d & e& f & t_y \\g & h& i & t_z \\0 & 0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y \\z \\1\\\end{bmatrix} \]

总结

请总结本节课的内容？
请回答开始的问题？

参考资料

闫令琪-变换（二维与三维）课件

扩展阅读

闫令琪-变换（二维与三维）课程录像

关键词：齐次坐标参考资料线性变换